递归函数时间复杂度分析

   例子：求N!。 
    这是一个简单的"累乘"问题，用递归算法也能解决。 
    n! = n * (n - 1)!   n > 1 
    0! = 1, 1! = 1      n = 0,1 
    因此，递归算法如下： 
    
Java代码 
fact(int n) {  
    if(n == 0 || n == 1)   
         return 1;  
        else   
             return n * fact(n - 1);  
    }  
    以n=3为例，看运行过程如下： 
    fact(3) ----- fact(2) ----- fact(1) ------ fact(2) -----fact(3) 
    ------------------------------>  ------------------------------> 
                递归                            回溯 
  递归算法在运行中不断调用自身降低规模的过程，当规模降为1，即递归到fact(1)时，满足停止条件停止递归，开始回溯(返回调用算法)并计算，从fact(1)=1计算返回到fact(2);计算2*fact(1)=2返回到fact(3)；计算3*fact(2)=6，结束递归。 
   算法的起始模块也是终止模块。 
(2) 递归实现机制 
    每一次递归调用，都用一个特殊的数据结构"栈"记录当前算法的执行状态，特别地设置地址栈，用来记录当前算法的执行位置，以备回溯时正常返回。递归模块的形式参数是普通变量，每次递归调用得到的值都是不同的，他们也是由"栈"来存储。 
(3) 递归调用的几种形式 
    一般递归调用有以下几种形式(其中a1、a2、b1、b2、k1、k2为常数)。 
   <1> 直接简单递归调用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); ...}; 
    
   <2> 直接复杂递归调用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); a2 * f((n - k2) / b2); ...}; 
    <3> 间接递归调用：  f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); ...}， 
                        g(n) {...a2 * f((n - k2) / b2); ...}。 
2. 递归算法效率分析方法 
   递归算法的分析方法比较多，最常用的便是迭代法。 
  迭代法的基本步骤是先将递归算法简化为对应的递归方程，然后通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，最后求级数的和，再估计和的渐进阶。 
  <1> 例：n! 
       算法的递归方程为： T(n) = T(n - 1) + O(1); 
       迭代展开： T(n) = T(n - 1) + O(1) 
                       = T(n - 2) + O(1) + O(1) 
                       = T(n - 3) + O(1) + O(1) + O(1) 
                       = ...... 
                       = O(1) + ... + O(1) + O(1) + O(1) 
                       = n * O(1) 
                       = O(n) 
      这个例子的时间复杂性是线性的。 
<2> 例：如下递归方程： 
      
      T(n) = 2T(n/2) + 2, 且假设n=2的k次方。 
      T(n) = 2T(n/2) + 2 
           = 2(2T(n/2*2) + 2) + 2 
           = 4T(n/2*2) + 4 + 2 
           = 4(2T(n/2*2*2) + 2) + 4 + 2 
           = 2*2*2T(n/2*2*2) + 8 + 4 + 2 
           = ... 
           = 2的(k-1)次方 * T(n/2的(i-1)次方) + $(i:1~(k-1))2的i次方 
           = 2的(k-1)次方 + (2的k次方)  - 2 
           = (3/2) * (2的k次方) - 2 
           = (3/2) * n - 2 
           = O(n) 
      这个例子的时间复杂性也是线性的。 
<3> 例：如下递归方程： 
      
      T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假设n=2的k次方。 
      T(n) = 2T(n/2) + O(n) 
           = 2T(n/4) + 2O(n/2) + O(n) 
           = ... 
           = O(n) + O(n) + ... + O(n) + O(n) + O(n) 
           = k * O(n) 
           = O(k*n) 
           = O(nlog2n) //以2为底 
     
      一般地，当递归方程为T(n) = aT(n/c) + O(n), T(n)的解为： 
      O(n)          (a<c && c>1) 
      O(nlog2n)     (a=c && c>1) //以2为底 
      O(nlogca)     (a>c && c>1) //n的(logca)次方，以c为底 
   上面介绍的3种递归调用形式，比较常用的是第一种情况，第二种形式也有时出现，而第三种形式(间接递归调用)使用的较少，且算法分析 
比较复杂。 下面举个第二种形式的递归调用例子。 
  <4> 递归方程为：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n 
     为了更好的理解，先画出递归过程相应的递归树： 
                            n                        --------> n 
                    n/3            2n/3              --------> n 
              n/9       2n/9   2n/9     4n/9         --------> n 
           ......     ......  ......  .......        ...... 
                                                     -------- 
                                                     总共O(nlogn) 
     累计递归树各层的非递归项的值，每一层和都等于n，从根到叶的最长路径是： 
    
      n --> (2/3)n --> (4/9)n --> (12/27)n --> ... --> 1 
     设最长路径为k，则应该有： 
      
     (2/3)的k次方 * n = 1 
     得到 k = log(2/3)n  // 以(2/3)为底 
     于是 T(n) <= (K + 1) * n = n (log(2/3)n + 1) 
     即 T(n) = O(nlogn) 
    由此例子表明，对于第二种递归形式调用，借助于递归树，用迭代法进行算法分析是简单易行的。